Numeros complejos y propiedades

Números complejos

La ecuación x2+4=,0 no tiene soluciones reales pues no hay ningún número real tal que x2=-2.Para resolver estas ecuaciones definimos la unidad imaginaria "i" que es igual a la raíz cuadrada de -2:   

Definición: un número complejo es un par ordenado de números reales. El conjunto de los números complejos es:  

                              C= {(a, b)/a∈R b∈R}

El número complejo más sencillo es el numero i, cumple que i2=1cualquier otro numero complejo se puede escribir como   z = a + b i, llamada también forma binomial, donde a y b son números reales.

El número complejo z = a + b i se puede representar como un punto del plano

La primera componente, en nuestro caso “a”, se denomina parte real y la segunda componente es la parte imaginaria “b”. Cuando el valor de la parte imaginaria es cero se denominan complejos puros y la parte real vale cero se denominan imaginarios puros.

Formas de expresar un número complejo:

·         Binómica z = a+bi

·         Cartesiana: z = (a, b)

·         Polar: z = (α , β   )

·         Trigonométrica:r(cos & +isen &)

 Propiedades de la suma de  numeros complejos

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma y su producto como sigue:

·         (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
·         (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i

Conmutativa

·         Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:

·         (a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)

     Ejemplo

·         (2 - 3 i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i

·         (-3 + i) + (2 - 3 i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i

  

Asociativa

·         Dados tres complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:

·         [(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]

     Ejemplo:

·         (5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i

·         (5 + 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i

 Elemento Neutro

·         El elemento neutro es 0 + 0 i ,puesto que

·        (a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i

·         El número 0 + 0 i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

      

  Elemento Simetrico

·         El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):

·         (a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0

      Ejemplo:

·         El simétrico de 2 - 3 i es -2 + 3.i pues (2 - 3 i) + (-2 + 3 i) = 0